Lerne, was komplexe Zahlen sind und was ihr Realteil und Imaginärteil sind.
Im reellen Zahlensystem gibt es keine Lösung der Gleichung . In dieser Lektion werden wir ein neues Zahlensystem kennenlernen in dem die Gleichung eine Lösung hat.
Das Rückgrat dieses neuen Systems ist die Zahl .
Wenn wir Vielfache dieser imaginäre Einheit nehmen, können wir unendlich viele neue Zahlen erzeugen. Zum Beispiel: , und sind alle Beispiele für rein imaginären Zahlen, oder Zahlen der Form , wobei eine reelle Zahl ungleich Null ist.
Addiert man reelle Zahlen zu diesen rein imaginäre Zahlen resultieren noch mehr Zahlen das Art oder . Diese Zahlen sind weder rein imaginäre Zahlen noch reelle Zahlen. Stattdessen gehören sie der Menge der komplexen Zahlen.
Definition der komplexen Zahlen
A komplexe Zahl ist eine beliebige Zahl, die als geschrieben werden kann, wobei die imaginäre Einheit ist und und reelle Zahlen sind.
Der teil der Zahl, oder , ist die reelle Zahl, die zur rein imaginären Zahl addiert wird.
Der äteil der Zahl, oder , ist der relle Koeffizient der rein imaginären Zahl.
Die untenstehene Tabelle zeigt Beispiele von komplexen Zahlen, in denen die Real- und Imaginärteile markiert sind. Viele Leute finden es einfacher, die Real- und Imaginärteile zu identifizieren, wenn die Zahl in Standardform geschrieben ist.
Komplexe Zahl
Standardform
Beschreibung der Teile
Der Realteil ist und der Imaginärteil ist .
Der Realteil ist und der Imaginärteil ist
Der Realteil ist und der Imaginärteil ist
Der Realteil ist und der Imaginärteil ist
Überprüfe dein Verständnis
Aufgabe 1
Was ist der Realteil von ?
Lasst uns die Zahl als schreiben.
.
Da der Reelleteil ist, folgt daraus, dass der Reelleteil ist.
Aufgabe 2
Was ist der Imaginärteil von ?
Lasst uns die Zahl als schreiben.
.
Da der Imaginärteil ist, folgt daraus, dass der Imaginäreteil ist.
Da der Reelleteil ist, folgt daraus, dass der Reelleteil ist.
Klassifizieren die komplexe Zahlen
Vielleicht hast du bemerkt, dass oben und als Beispiel für komplexe Zahlen gegeben wurden. Obwohl sie als rein imaginär b.z.w. reelle Zahlen klassifiziert werden können.
Schauen wir uns das genauer an und versuchen zu verstehen, wie die Zahlenmengen zusammenpassen.
ist eine rein imaginäre Zahl. Wir können diese Zahl auch als ausdrücken. Deshalb ist sowohl eine rein imaginäre Zahl und eine komplexe Zahl! Tatsächlich ist jede rein imaginäre Zahl auch eine komplexe Zahl.
Ebenso ist eine reelle Zahl. Jedoch können wir auch als aufschreiben. Deshalb ist ist sowohl eine reelle Zahl als auch eine komplexe Zahl! Tatsächlich ist jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl.
Im Allgemeinen werden alle von Null verschiedenen komplexe Zahlen auch...
...eine rein imaginäre Zahl, wenn ist.
...eine reell Zahl, wenn ist.
Das Diagramm zeigt, wie reelle, rein imaginäre und die komplexen Zahlen Mengen zusammenpassen. Beispiele für Zahlen von jedem Typ werden gegeben.
Eine Frage zum Nachdenken
Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
Jede komplexe Zahl ist entweder reell oder rein imaginär.
Die Aussage ist falsch, weil die Zahlen wie weder reell noch rein imaginär sind.
In der folgenden Tabelle haben wir einige Nummern als reelle, rein imaginäre und/oder komplexe Zahlen eingeordnet.
ä
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Beachte, dass alle Zahlen in der Tabelle komplexe Zahlen sind. Dies ist generell wahr!
Jetzt versuch du es!
Aufgabe 4
Welcher Zahlentyp ist ?
Bei der Zahl sind sowohl als auch von Null verschiedene reelle Zahlen. Deshalb ist die Zahl nur eine imaginäre Zahl.
Aufgabe 5
Welcher Zahlentyp ist ?
Lass uns zuerst die Zahl in der Form schreiben.
Da als dargestellt werden kann, wobei und reellen Zahlen sind, ist es eine komplexe Zahl. Weil , ist es auch eine reelle Zahl.
ist komplex und reell.
Aufgabe 6
Welcher Zahlentyp ist ?
Lass uns zuerst die Zahl in der Form schreiben.
Da als dargestellt werden kann, wobei und reellen Zahlen sind, ist es eine komplexe Zahl. Weil ist, ist es auch eine reine imaginäre Zahl.
ist komplexe und rein imaginäre.
Warum sind diese Zahlen wichtig?
Warum befassen wir uns dennoch mit komplexen Zahlen? Ob Du es glaubst, oder nicht, komplexe Zahlen kommen oft zur Anwendung, zum Beispiel in der Elektrotechnik oder Quantenmechanik!
Aus rein mathematische Sicht ist es eine coole Sache, dass die komplexen Zahlen es uns erlauben alle Polynomgleichungen zu lösen.
Zum Beispiel hat die Polynomgleichung weder eine reelle Lösung noch rein imaginäre Lösungen. Aber sie hat zwei komplexe Lösungen: und .
Im Lange unseres Studiums der Mathematik werden, wir mehr über diese Zahlen und wo sie benutzt werden lernen.
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